Похідна

Середньою швидкістю зміни функції на проміжку   називають відношення приросту функції до   незалежної змінної, тобто

.

Границю середньої швидкості з приростом незалежної змінної, що прямує до нуля, тобто , називається швидкістю зміни функції в точці . Її називають похідною. Похідну функції   в точці   позначають так: .

Механічний зміст похідної:

Якщо задано функцію , за допомогою якої можна визначити положення точки для будь-якого моменту часу, то рух вважається заданим, а рівняння   – рівнянням руху.

Так, в момент часу   точка знаходиться в точці М на відстані . Розглянемо момент , коли точка знаходиться в точці М₁ на відстані   від точки О. За час   точка пройшла шлях   із середньою швидкістю

.

Границя середньої швидкості за проміжок часу , коли   прямує до нуля, називається швидкістю точки в довільний момент часу. Отже:

.

Швидкість точки, що рухається в довільний момент часу , похідною від шляху за часом, а похідна швидкості за часом є прискоренням.

Під час розв’язування задач з фізики користуються такими похідними:

Приклад. З рівняння гармонічних механічних коливань   знайти вираз для максимальної швидкості.   = ;   = А? cos ?t,   _m= А?