Приклади задач

Для розв'язування задач розділу "Механічні коливання і хвилі" рекомендуємо:

- записати рівняння, яке задано в задачі, і рівняння гармонічного коливання в загальному вигляді, зіставити ці рівняння і визначити основні характеристики (зміщення, амплітуду, період, частоту, фазу) згідно умови задачі;

- швидкість і прискорення матеріальної точки під час гармонічних коливань, а також максимальне значення цих величин, визначити із рівняння гармонічних коливань, параметри якого відповідають даним задачі;

- період гармонічних коливань в різних ситуаціях визначати за формулою , де w - циклічна частота коливань, . Модуль прискорення точки, що коливається, , де x - зміщення точки із положення рівноваги. Визначивши прискорення із другого закону Ньютона, знайти коефіцієнт k, а потім період коливань;

- використовувати закон збереження і перетворення енергії в задачах про математичний і пружинний маятники.

Для розв'язування задач розділу "Електромагнітні коливання і хвилі" потрібно:

- розглядаючи процес, що перебігає в коливальному контурі, використовувати закон збереження і перетворення енергії, а також загальний підхід, який застосовують для розв'язування задач на гармонічні коливання;

- враховувати, що змінний струм - це вимушені електричні коливання, для яких застосовують ті самі характеристики, що і для механічних коливань;

- пам'ятати, що електромагнітні хвилі поширюються у вакуумі зі швидкістю світла c = 3·10⁸ м/с, а в середовищі - зі швидкістю , де n - показник заломлення середовища.

Задача 5.1. Тіло здійснює гармонічні коливання за законом . Визначити амплітуду зміщення, швидкості, прискорення і сили, якщо маса тіла 2 кг, а початкова фаза дорівнює нулю. Знайти повну енергію тіла.

Задача 5.2. Визначити величину зміщення, швидкості та прискорення точки, яка здійснює синусоїдне коливання з амплітудою 2 м, частотою 0,25 Гц та початковою фазою , через дві секунди після початку коливання. Чому дорівнює максимальна швидкість точки?

Задача 5.3. Матеріальна точка масою 10 г коливається за законом x = 0,05sin(0,6t + 0,8). Знайти максимальну силу, яка діє на точку, і повну енергію точки, що коливається.

Задача 5.4. Найбільше відхилення маятника з довжиною нитки 0,8 м дорівнює 6°. Визначити максимальну швидкість руху.

Задача 5.5. Кульку підвішено на довгій нитці. Перший раз її піднімають по вертикалі до точки підвісу, а другий - відхиляють як маятник на невеликий кут. У якому з цих випадків кулька швидше набуде початкового положення, якщо її відпустити?

Задача 5.6. Маленьку кульку підвішено на нитці довжиною 1 м до стелі вагона. За якої швидкості вагона кулька особливо сильно коливатиметься під дією ударів коліс об стики рейок? Довжина рейки 12,5 см.

Задача 5.7. Маятник складається з важкої кулі масою 100 г, підвішеної на нитці довжиною 50 см. Визначити його період коливання і запас енергії, яку має цей маятник, коли найбільший кут його відхилення від вертикального положення дорівнює 30 °.

Задача 5.8. Уздовж деякої прямої поширюється коливання з періодом 0,25 с і швидкістю 48 м/с. Через 10 с після виникнення коливань у вихідній точці на віддалі 43 м від неї зміщення дорівнює 3 см. Визначити в цей самий момент часу зміщення і фазу в точці, що лежить на віддалі 45 м від джерела коливань.

Задача 5.9. У скільки разів зміниться довжина звукової хвилі під час переходу звуку із повітря у воду? Швидкість звуку в повітрі 332 м/с, у воді 1450 м/с.

Задача 5.10. Вздовж натягнутого шнура поширюється поперечна хвиля. Різниця фаз коливань двох точок на відстані l = 0,2 м, дорівнює . Знайти швидкість хвилі, якщо відомо, що частота коливань n = 5 Гц.

Задача 5.11. Плоска біжуча хвиля поширюється вздовж прямої зі швидкістю 20 м/с. Точка, що знаходиться на цій прямій на відстані 15 м від джерела хвиль, коливається з ним з різницею фаз 0,75p. Амплітуда коливань джерела хвиль дорівнює 0,1 м. Визначити перший момент часу після початку поширення хвилі, в якій задана точка буде мати зміщення 7,1 см. Зважати, що j₀ = 0.

Задача 5.12. Неонову лампочку, яка спалахує і гасне при напрузі 84 В, ввімкнено в коло змінного струму промислової частоти з ефективною напругою 120 В. Визначити час між спалахами лампочки і тривалість спалаху.

Задача 5.13. Визначити опір вторинної обмотки трансформатора з коефіцієнтом трансформації k = 10, якщо під час ввімкнення первинної обмотки в мережу напругою 120 В у вторинній обмотці проходить струм 5 А, а її напруга 6 В. Втратами енергії в первинній обмотці знехтувати.

Задача 5.14. Коливальний контур приймача складається із слюдяного конденсатора, площа пластин якого 800 см², а відстань між ними 1 мм, і котушки. На яку довжину хвилі резонує цей контур, якщо максимальне значення напруги на пластинах конденсатора в 100 разів більше максимального значення струму в котушці? Діелектрична проникність середовища дорівнює 7.

Задача 5.15. Визначити період коливань стовпа ртуті в U - подібній трубці під час виведення його із положення рівноваги (рис.5.4). Площа перерізу трубки 0,3 см², маса ртуті 120 г.

Задача 5.16. Маятник довжиною 1,2 м підвішено до стелі вагона, що рухається горизонтально по прямій з прискоренням 2,2 м/с². Знайти період коливань маятника.

Задача 5.17. Коливальний контур складається із котушки індуктивністю 80 мкГн, конденсатора ємністю 100 пФ і резистора опором 0,5 Ом. Яку потужність має споживати контур, щоб у ньому можна було підтримувати незагасальні коливання, за яких максимальна напруга в конденсаторі дорівнює 4 В?

Задача 5.18. Знижувальний трансформатор з коефіцієнтом трансформації 24 ввімкнено в мережу з напругою 120 В. Вторинну обмотку трансформатора ввімкнено до приладу, через який проходить струм 0,5 А. Визначити опір приладу, якщо опір вторинної обмотки дорівнює 2 Ом, а ККД 95 %.

Задача 5.19. Зміщення точки, що знаходиться на відстані 4 см від джерела коливань із положення рівноваги через проміжок часу дорівнює половині амплітуди. Знайти довжину хвилі.

Задача 5.20. Радіолокатор може виявити ціль, що знаходиться на відстані від 100 м до 100 км. Визначити тривалість імпульсів та частоту їх слідування.