Загальні поняття

Коливаннями або коливальними рухами називають такі види механічного руху чи зміни стану системи, які періодично повторюються в часі, наприклад, механічні коливання тіла на пружині, коливання маятників, коливання струн, вібрації фундаментів будівель, електромагнітні коливання в коливальному контурі.

За фізичною природою коливання поділяють на механічні та електромагнітні, за характером коливань - на вільні, вимушені та автоколивання. Хоча коливання досить різноманітні за своєю фізичною природою, але вони мають спільні закономірності й описуються однотипними математичними методами.

Механічні коливання - періодичне зміщення тіла то в один, то в другий бік відносно положення рівноваги.

Механічна система, в якій одне або декілька тіл можуть здійснювати коливальні рухи, називають коливальною системою.

Коливання, які відбуваються лише під дією внутрішніх сил, називають вільними. Щоб система виконувала ці коливання, треба вивести тіло з положення рівноваги, тобто надати коливальній системі енергію. При цьому рівнодійна всіх сил, що діють на тіло, має бути відмінною від нуля і спрямованою до положення рівноваги, в якому рівнодійна дорівнює нулю. Вільні коливання виникали б, якби не було впливу зовнішніх сил. Цього досягти неможливо, тому вільні коливання це абстракція. Вони з часом стають згасальними.

Виникла потреба в коливаннях під дією зовнішньої сили, що періодично змінюється, такі коливання називають вимушеними. Ці коливання здійснюють поршні в циліндрах двигунів, голка швацької машини тощо.

Ще одним видом незагасальних коливань є автоколивання. Це коливання, які підтримуються внутрішніми джерелами енергії системи, коли не діє зовнішня періодична сила. Наприклад, настінний годинник з маятником або наручний механічний годинник - це механічні автоколивальні системи.

У годинниках потенціальна енергія тягарця (або стиснутої пружини) поступово, окремими порціями передається маятнику і компенсує втрати на тертя. Можна спостерігати автоколивання струни під дією смичка, голосових зв'язок під час розмови або співу.

Коливання називають періодичними, якщо значення фізичних величин, які змінюються в процесі коливань, повторюються через однакові проміжки часу. Найпростішим прикладом періодичних коливань є гармонічні коливання, під час яких фізична величина змінюється з плином часу за законом

x = Asin(wt + j₀), або x = Acos(wt + j₀),               (5.1.1)

де А, w, і j₀ - постійні величини, причому А > 0, w > 0.

Найпростіший приклад гармонічного коливання - це коливання вздовж осі Ох проекції кінця радіуса-вектора точки, що рухається по колу радіуса А (рис.5.1.2). Якщо t = 0 радіус вектор ОВ утворює з віссю Оу кут j₀, а за час t описує кут wt, так що в довільний момент часу x = Asin(wt + j₀).

У механічних коливаннях х - зміщення тіла (коливальної системи) від положення рівноваги. У СІ [x] = м; А - амплітуда - найбільше відхилення від положення рівноваги. Якщо коливання незагасальні, то амплітуда не змінюється. У СІ [А] = м.

Мінімальний проміжок часу Т, через який повторюється певне значення змінної величини, що характеризує коливальну систему, називають періодом коливань. Або ж простіше: період - це час одного повного коливання. Якщо за час t відбулося N коливань, тоді

.

У СІ [Т] = c.

Величину, обернену до періоду коливань Т, називають частотою коливань n :

.

Частота n показує скільки повних коливань здійснює коливальна система за одиницю часу. У СІ частоту вимірюють у герцах: частота дорівнює 1 Гц, якщо за 1 с коливальна система (маятник) виконує одне повне коливання: [n] = 1 Гц = 1/с = с^-1.

У теорії коливань часто користуються циклічною частотою (w) - величиною, яка показує скільки коливань здійснює маятник за 2p секунд. У СІ її вимірюють у герцах (Гц). Між частотою і циклічною частотою існує зв'язок:

.

У рівняннях (5.1.1) вираз в дужках під знаком синуса або косинуса називають фазою коливань j = wt + j₀. Фаза коливань визначає при заданій амплітуді стан коливальної системи в довільний момент часу. У СІ цю величину вимірюють у радіанах (рад).

Якщо відлік часу в коливальній системі розпочати з моменту проходження тілом положення рівноваги, то коливання відбуваються за законом синуса, а якщо з точки максимального відхилення - то за законом косинуса.

У формулах (5.1.1) j₀ - початкова фаза - показує, на якому етапі знаходився коливальний рух у момент початку відліку часу.

Оскільки механічні коливання відбуваються під дією сил, то при цьому відбувається періодична зміна величини і напряму швидкості та прискорення тіла, що здійснює коливальний рух. Швидкість дорівнює першій похідній від зміщення х:

,

, або

де _max = wA.

Прискорення дорівнює першій похідній від швидкості або другій похідній від зміщення

або

,               (5.1.2)

де a_max = – w²A.

Порівнюючи вирази (5.1.1) та (5.1.2) дістанемо диференціальне рівняння вільних гармонічних коливань

x" = – w²x

З рівняння (5.1.2) випливає, що під час гармонічних коливань прискорення прямо пропорційне зміщенню a_x = – w²x. А згідно з другим законом Ньютона F_x = ma_x = –  mw²x. Отже, гармонічні коливання відбуваються під дією сили, напрямленої до положення рівноваги і прямо пропорційної зміщенню від цього положення. Цю силу називають вертальною.

Запитання для самоперевірки

1. Який рух називають коливальним? Що являє собою коливання тіла?

2. Які коливання називають вільними? Наведіть приклади вільних коливань.

3. Які коливання називають вимушеними? Наведіть приклади вимушених коливань.

4. Побудуйте схему і поясніть дослід, що встановлює зв'язок між обертальним і коливальним рухами.

5. Які коливання називають гармонічними? Яке рівняння виражає зміст гармонічного коливання?

6. Що називають амплітудою коливання?

7. Що називають періодом коливань? Яка формула виражає зміст цього поняття? Яка одиниця вимірювання періоду коливань?

8. Що називають частотою коливань? Запишіть формули лінійної і циклічної частот коливань. Назвіть одиниці їх вимірювання.

9. Запишіть формулу, яка встановлює зв'язок між циклічною та лінійною частотами.

10. Наведіть визначення фази гармонічного коливання? Що розуміють під початковою фазою?

11. Що називають зміщенням коливного тіла?