Задачі для самостійного розв'язування

Задача 2.28. Рух матеріальної точки задано рівняннями: x = 8t² + 4; y = 6t² - 3; z = 0. Визначити модулі швидкості і прискорення точки в момент t = 8 с.

Відповідь:

Задача 2.29. Від станції відійшов товарний потяг зі швидкістю v₁ = 36 км/год, через 30 хв йому навздогін вийшов електропотяг зі швидкістю v₂ = 72 км/год. На якій відстані від станцій електропотяг наздожене товарний? Через який час вони зустрінуться? Розв'язати графічно й аналітично.

Відповідь: х_зус. = 36•10³ м, t_зус. = 3600 с.

Задача 2.30. З якою швидкістю і за яким курсом має летіти літак, щоб за час t = 2 год пролетіти точно на північ шлях S = 300 км, якщо під час польоту дме північно-західний вітер під кутом a = 30^o до меридіана зі швидкістю v = 27 км/год?

Відповідь: v = 174 км/год, b = 4°27'.

Задача 2.31. Автомобіль, маючи швидкість 32,4 км/год, за 22 с збільшив її до 72 км/год. Визначити прискорення і шлях, який пройшов автомобіль за цей час, вважаючи рух рівноприскореним. Накреслити графік швидкості.

Відповідь:

Задача 2.32. Кулька спустилася з похилої площини довжиною 50 м за 10 с з прискоренням 0,6 м/с². Визначити початкову і кінцеву швидкості руху, а також швидкість кульки посередині пройденого нею шляху.

Відповідь: v₀ = 2 м/с, v_к = 8 м/с, v_1/2 = 5,8 м/с.

Задача 2.33. Два підводні човни пливуть назустріч один одному кожен зі швидкістю v. З першого човна було послано ультразвуковий сигнал, який відбившись від другого човна, повернувся назад через час t. Швидкість сигналу c. На якій відстані знаходились човни в той момент, коли було послано сигнал?

Відповідь: .

Задача 2.34. Чому дорівнює лінійна швидкість верхньої точки протектора колеса автомобіля відносно Землі, якщо швидкість руху автомобіля v = 15 м/с?

Відповідь:

Задача 2.35. Визначити період обертання, кутову і лінійну швидкості точок на поверхні маховика, якщо за час t = 1 хв він здійснює n = 3000 обертів, а його радіус R = 40 см.

Відповідь:

Задача 2.36. Тіло масою m рівномірно рухається по колу з швидкістю v. Чому дорівнює зміна імпульсу тіла за 1/4 оберту.

Відповідь: .

Задача 2.37. Три літаки виконують поворот, рухаючись на відстані 60 м один від одного. Середній літак летить зі швидкістю 360 км/год, рухаючись по дузі кола радіусом 600 м. Визначити прискорення кожного з літаків.

Відповідь: a₁ = 18,3 м/с², a₂ = 16,7 м/с², a₃ = 15 м/с².

Задача 2.38. По горизонтальній дорозі тягнуть сани з вантажем загальною масою 80 кг. Мотузок утворює кут 30^o з горизонтом. Сила тяги 50 Н. Визначити коефіцієнт тертя ковзання, якщо сани рухаються з прискоренням 0,15 м/с².

Відповідь: m = 0,04.

Задача 2.39. М'яч масою 0,5 кг після удару об стінку протягом 0,02 с набув швидкості 10 м/с. Визначити середню силу удару.

Відповідь: F_сер. = 500 Н.

Задача 2.40. По тілу вагою 98 Н, що знаходиться на висоті h = 4,9 м над горизонтальною поверхнею наносять горизонтальний удар із силою F = 980 Н, що діє протягом малого проміжку часу t = 0,01 с. На якій відстані S тіло упаде на поверхню? Тертя не враховувати.

Відповідь: S = 0,98 м.

Задача 2.41. До кінців нитки, перекинутої через нерухомий блок, підвішено два однакові важки масою 4 кг кожен. На один з важків поклали переважок масою m = 2 кг. Знайти значення сили тиску переважка на важок.

Відповідь: .

Задача 2.42. Тіло, що знаходиться на екваторі, кинули вертикально догори з початковою швидкістю v₀ = 9 м/с. З якою початковою швидкістю слід кинути тіло, яке знаходиться на відстані двох радіусів Землі від її поверхні, щоб максимальна висота, на яку піднімається це тіло, була такою ж, як і на екваторі? Опором повітря в першому випадку знехтувати.

Відповідь: v'₀ = 3 м/с.

Задача 2.43. Тіло кинули з поверхні Землі під кутом a до горизонту так, що максимальна висота підняття стала дорівнювати дальності польоту. Знайти кут a. Опором повітря знехтувати.

Відповідь: a = 75^o.

Задача 2.44. Мотоцикліст проходить поворот по частині кола радіусом 100 м. Швидкість мотоцикліста 72 км/год. Під яким кутом до горизонту він має нахилитися, щоб втриматися на повороті? У який бік відносно напряму руху нахиляється мотоцикліст?

Відповідь: a = 68^o.

Задача 2.45. Хлопчик, зріст якого h = 1,6 м, знаходячись на відстані l = 20 м перед огорожею заввишки H = 2 м, кидає камінь під кутом a = 45^o до горизонту. З якою мінімальною швидкістю потрібно кинути камінь, щоб він перелетів через огорожу?

Відповідь: v₀ = 4 м/с.

Задача 2.46. Визначити вагу людини масою m = 80 кг в ліфті, якщо під час руху вгору зі сталим прискоренням за t = 2 с швидкість ліфта змінилася з v₀ = 5,4 м/с до v_t = 1 м/с.

Відповідь: P = 680 Н.

Задача 2.47. З похилої площини довжиною l = 4 м і кутом нахилу a = 45^o ковзає тіло масою m, розмірами якого знехтуємо, після чого воно проходить деякий шлях по горизонталі. Коефіцієнт тертя дорівнює m = 0,1. Чому дорівнює швидкість тіла на відстані S = 0,7 м від основи похилої площини?

Відповідь: v = 7 м/с.

Задача 2.48. Вантаж масою m = 100 кг піднімають вертикально вгору зі сталим прискоренням a = 0,5 м/с² на пружині із жорсткістю k = 100 Н/м. Яка величина видовження пружини під час цього піднімання?

Відповідь: x = 0,0105 м.

Задача 2.49. Автомобіль масою m = 3000 кг проходить по ввігнутому мосту радіусом R = 20 м зі швидкістю v = 36 км/год. Визначити силу тиску автомобіля на міст в точці, радіус кривизни в якій становить кут a = 60o з вертикаллю.

Відповідь: F = 30 кН.

Задача 2.50. На горизонтальному диску, що обертається навколо вертикальної осі, закріплено висок на відстані r = 10 см від осі обертання. Висок внаслідок обертання диска встановлюється під кутом v = 45o до вертикалі. Визначити кутову швидкість обертання диска, якщо довжина нитки виска l = 6 см.

Відповідь: w = 0,8 c^-1.

Задача 2.51. Літак з реактивним двигуном летить зі швидкістю v = 1440 км/год. Вважаючи, що людина може витримати п'ятикратне збільшення ваги, визначити радіус кола, по якому може рухатися літак у вертикальній площині.

Відповідь: R = 4•10³м.

Задача 2.52. До стінки приставлений однорідний стрижень масою m = 17 кг під кутом a = 60^o до горизонту. Яку горизонтальну силу слід прикласти до стрижня на відстані однієї третини довжини від верху, щоб верхній торець не тиснув на стінку?

Відповідь: F = 73,6 Н.

Задача 2.53. Металевий стрижень зігнули посередині так, що його частини утворюють прямий кут. Стрижень вільно підвісили за один з його кінців. Який кут утворює з вертикаллю верхня частина стрижня?

Відповідь: a  18,5^o.

Задача 2.54. Яку мінімальну швидкість буде мати людина, яка збігає з гірки заввишки H = 10 м з нахилом a = 30^o при коефіцієнті тертя m = 0,3?

Відповідь: v  10 м/с.

Задача 2.55. З якою приблизно швидкістю буде рухатися ракета масою 20 кг після вильоту із неї продуктів згоряння палива масою 1 кг зі швидкістю 2 км/с?

Відповідь: v  105.

Задача 2.56. Визначити силу тяги ракетного двигуна із витратою палива 2000 кг/с при швидкості витікання газів 3,5 км/с.

Відповідь: F = 7•10⁶ Н.

Задача 2.57. Спортсмен масою 60 кг стрибає з висоти 9 м на пружну сітку - батут. Знайти максимальне значення потенціальної енергії пружної деформації сітки, якщо її максимальний прогин дорівнює 1 м.

Відповідь: E_п = 6•10³ Дж.

Задача 2.58. Знайти різницю модулів швидкості тіла |v₁| - |v₂|, якщо зміна імпульсу і кінетичної енергії внаслідок удару тіла об поверхню дорівнюють відповідно 18 (кг•м)/с і 36 Дж, а швидкість зменшується за модулем від v₁ до v₂, причому напрями векторів і протилежні.

Відповідь: |v₁| - |v₂| = 4 м/с.

Задача 2.59. Кульку масою m, підвішену на нитці довжиною l, відхиляють на кут 90^o від вертикалі і відпускають. Визначити силу максимального натягу нитки.

Відповідь: T_max = 3mg.

Задача 2.60. У нерухомому човні на віддалі l = 7 м один від одного сидять два рибалки. Маса човна M = 200 кг, маса одного рибалки m₁ = 80 кг, а другого m₂ = 70 кг. На яку відстань зміститься човен, якщо рибалки поміняються місцями? Опором води знехтувати.

Відповідь: x = 0,2 м.

Задача 2.61. Двоступінчаста ракета під дією порохового прискорювача і двигуна другого ступеня піднімається на висоту 3•10⁴ м і набуває швидкості 1100 м/с. Яка робота виконується обома ступенями під час підняття ракети, якщо середня маса ракети 500 кг?

Відповідь: A = 450 МДж.

Задача 2.62. Хлопчик, що стоїть на підвищенні, стріляє із пружинного пістолета в горизонтальному напрямі. Жорсткість пружини 90 Н/м, максимальна деформація пружини 10 см, маса кулі 9 г. Знайти модуль і напрям вектора швидкості кулі через 3 с після пострілу.

Відповідь: v  31 м/с.

Задача 2.63. Вантаж масою 1 кг на тонкій нитці завдовжки 1 м здійснює вільні коливання, максимальний кут відхилення нитки від вертикального положення 5^o. Визначити силу пружності нитки під час проходження вантажем положення рівноваги.

Відповідь: F_пр = 9,88 Н.

Задача 2.64. Камінь масою 1 кг кинуто зі швидкістю 20 м/с під кутом 25^o до горизонту. З якою швидкістю буде рухатися камінь в той момент, коли відстань від нього до поверхні Землі збільшиться на 1 м порівняно з початковим значенням?

Відповідь: v  19,5 м/с.

Задача 2.65. Тіло масою m = 200 г рівномірно обертається в горизонтальній площині по колу радіусом R = 0,5 м з частотою n₁ = 3 об/с. Яку роботу треба виконати, щоб збільшити частоту обертання до n₂ = 5 об/с?

Відповідь: A = 15,8 Дж.

Задача 2.66. З вершини гладкої півсфери починає ковзати тіло. На висоті h = 2,5 м від основи півсфери воно відривається від поверхні. Визначити радіус півсфери, якщо її основа горизонтальна.

Відповідь: R = 5 м.

Задача 2.67. Повітря із магдебурзьких півкуль відкачано до тиску 0,8 см рт.ст. Радіус півкуль - 0,5 м. Яку силу необхідно прикласти, щоб розірвати півкулі? Атмосферний тиск - 75,8 см рт.ст.

Відповідь: F  78,5 кН.

Задача 2.68. У склянці знаходиться газ під тиском 20 Н/см². Склянку закрито корком, площа бічної поверхні якого дорівнює 10 см². Якою має бути мінімальна сила тертя між корком і склянкою, щоб корок не вилетів при нормальному атмосферному тиску?

Відповідь: F_тр = 95 Н.

Задача 2.69. Дві трубки діаметром 4 см утворюють сполучені посудини. В одне коліно посудини наливають 0,25 л води, в друге - 0,25 л ртуті. Якими будуть висоти рідин в обох колінах? Об'ємом зігнутої частини трубки знехтувати.

Відповідь: h₁ = 10,7 см, h₂ = 29,3 см..

Задача 2.70. До малого поршня гідравлічного преса прикладено силу 200 Н, під дією якої за один прохід він опускається на 30 см, внаслідок чого великий поршень піднімається на 5 см. Яка сила тиску передається при цьому на більший поршень?

Відповідь: F₂ = 1200 Н.

Задача 2.71. Знайти максимальне значення сили Архімеда, що діє на тіло у рідині з густиною 1,5•10³ кг/м³, якщо вага цього тіла в рідині густиною 2,5 кг/м³ становила 55 Н, а в рідині густиною 3,5•10³ кг/м³ - 25 Н.

Відповідь: F_A = 45 Н.

Задача 2.72. З якої висоти має впасти тіло, густина якого 500 кг/м³, щоб зануритись у воду на глибину 10 см? Опором води і повітря знехтувати.

Відповідь: h = 10 м.

Задача 2.73. Куля діаметром 2 см прикріплена до пружини. Знайти жорсткість пружини і густину матеріалу кулі, якщо в повітрі пружина розтягнулась на 20 см, а у воді на 5 см.

Відповідь: k = 0,27 Н/м, r_к = 1,35•10³ кг/м³.

Задача 2.74. У склянку діаметром 5 см налито 314 г води. На скільки підвищиться рівень води в склянці і чому буде дорівнювати тиск на дно, якщо в склянку опустити сосновий кубик об'ємом 31,4 см³? Атмосферний тиск нормальний.

Відповідь: Dh  1,3 см, p = 761 мм рт.ст.

Задача 2.75. Суцільна однорідна куля плаває на межі поділу двох не змішуваних рідин, густини яких дорівнюють відповідно r₁ = 800 кг/м³ і r₂ = 1000 кг/м³. Визначити густину тіла, якщо у верхній рідині знаходиться 0,30 об'єму кулі.

Відповідь: r = 940 кг/м³.

Задача 2.76. Крижина площею поперечного перерізу S = 1 м² і висотою h = 0,4 м плаває у воді. Яку роботу потрібно виконати, щоб повністю занурити крижину у воду?

Відповідь: A  7,84 Дж.

Задача 2.77. Один кінець рибальської волосіні закріплено на дні, а другий прикріплено до коркового поплавка. При цьому 0,55 об'єму поплавка занурено у воду. Визначити натяг волосіні, якщо маса поплавка m = 1 кг, а густина корка r_к = 0,25 кг/м³. Масою волосіні знехтувати.

Відповідь: T = 11,77 Н.

Задача 2.78. Яку роботу треба виконати під час повільного підняття каменя об'ємом 0,5 м³ у воді з глибини 1 м?

Відповідь: A = 73,4•10³ Дж.

Задача 2.79. Крижина рівномірної товщини плаває у воді, висовуючись зовні на 2 см. Знайти масу крижини, якщо площа її основи 200 см².

Відповідь: m = 4,6 кг.

Задача 2.80. Однорідне тіло плаває на поверхні спирту так, що об'єм зануреної частини становить 0,92 всього об'єму тіла V. Визначте об'єм зануреної частини під час плавання цього тіла на поверхні води.

Відповідь: 0,736 V.

Задача 2.81. Знайти вагу тіла в рідині з густиною r₁ = 1,5•10³ кг/м³, якщо вага цього тіла в інших двох рідинах з густинами r₂ = 10³ кг/м³ і r₃ = 2•10³ кг/м³ дорівнювала відповідно 55 Н і 30 Н.

Відповідь: P₁ = 42,5 Н.

Задача 2.82. Повітряна куля об'ємом V = 20 м³, заповнена гелієм, піднялася на висоту h = 180 м за час t = 0,5 хв. Маса кулі з обладнанням і кошиком M = 12 кг. Знайти масу вантажу, піднятого кулею. Густину повітря і гелію до висоти 180 м вважати сталими: r_п = 1,29 кг/м³, r_He = 0,18 кг/м³.

Відповідь: m = 9,5 кг.

Задача 2.83. У склянці перерізом 27 см² плаває сосновий кубик об'ємом 27 см³. Яку мінімальну роботу потрібно виконати, щоб кубик повністю занурити у воду?

Відповідь: A  0,033 Дж.

Задача 2.84. У пробірці з водою плаває сосновий кубик об'ємом 1 см³. Як зміниться рівень води в пробірці, якщо її піднімати вертикально вгору з прискоренням 4,9 м/с²? Опускати з таким самим прискоренням?

Відповідь: в усіх випадках кубик занурено на глибину 0,5 см.

Задача 2.85. Стальна кулька плаває в ртуті. Яка частина об'єму кульки буде знаходитися в ртуті, якщо поверх неї налити шар води, що повністю покриває кулю?

Відповідь: 0,55.