Модель для дослідження рівняння та графіків рівномірного і рівноприскореного рухів

Знайомство з моделлю

Мета: зрозуміти призначення різних елементів моделі

У верхній частині вікна моделі розміщено зображення людини. Його можна перетягувати і нижче автоматично будуються графіки такого руху. Оскільки перетягувати рівномірно, а тим більше рівноприскорено досить складно, то графіки виходять досить складними і аналізувати їх важко.

Щоб зупинити процес побудови графіків натисніть кнопку Пауза у лівій частині вікна. Нижче активується кнопка Стерти завдяки якій можна прибрати зображення графіків.

Текстові поля Х= та V= призначені для більш зручного і точного введення параметрів руху. Заповнимо їх такими даними Х=-6, V=2, натиснемо кнопку Почати. Людина буде рухатися, а графіки автоматично будуватися. Рух можна зупинити кнопкою Пауза.

Тепер можна змінити параметри руху. Наприклад, V=-4 і спостерігати рух у зворотньому напряму з більшою швидкістю.

Рух та його параметри записуються. Кнопки у нижній частині вікна дозволяють перейти на початок запису, відтворити у звичайному режимі чи уповільнено, стерти для створення нового запису руху. Спробуйте зробити ці операції.

Кожен графік може бути згорнений кнопкою у верхньому правому кутку поля графіка. Згорнутий графік можна розгорнути кнопкою під графіками (на малюнку показана така кнопка для графіку прискорення).

Для кожного графіка можна налаштувати масштаб вертикальної осі, масштаб горизонтальної осі змінюється одночасно для всіх трьох графіків.

Перед початком роботи з моделлю згорніть вікно графіка прискорення, поки що воно не знадобиться.

Рівняння рівномірного руху

Мета: пов'язати рівняння рівномірного руху із відповідним рухом, тобто привчити “бачити” за рівнянням певний рух.

Нагадаю, що основна задача механіки полягає в тому, щоб знайти положення тіла в будь-який момент часу. Спробуємо вирішити цю задачу для певного рівномірного руху.

Хай тіло рухається із точки з координатами 2 м із швидкістю 3 м/с за напрямком координатної осі. Де буде тіло через 4 с від початку руху?

За означенням, швидкість — це відстань яку проходить тіло за одиницю часу, тобто за 1 с. Тобто, швидкість 3 м/с означає, що за 1 с тіло проходить 3 м. Наше тіло рухалося 4 с, тому пройшло 3х4=12 м. Оскільки рухалося воно не з початку координат, то потрібно додати ще й початкову координату 2 м. Таким чином, тіло через 4 с від початку руху було в точці з координатою 14 м.

Тепер запишемо математичний вираз для цієї задачі: Х=2+3х4=14 м.

Для кожної аналогічної задачі наведені вище міркування будуть повторюватися, тому можна записати узагальнений математичний вираз для таких задач Х=Х₀+Vt. Це і є рівняння рівномірного руху.

Х₀ та V в цьому рівнянні можуть бути від'ємними.

Щоб правильно розв'язувати задачі з використанням цього рівняння потрібно:

1. Знати які фізичні величини стоять за Х, Х₀, V та t — без цього ви навіть Дано не запишете.

2. Пам'ятати саме рівняння рівномірного руху (кращій спосіб запам'ятати — це усвідомити як воно з'явилося).

3. Вміти провадити математичні операції з цим рівнянням.

4. Правильно визначати знак Х та V.

Для закріплення останнього використаємо нашу комп'ютерну модель. Щоб не відволікатися на непотрібні на цьому етапі подробиці відключіть відображення графіків. Маніпулюючи з моделлю, тобто виставляючи значення Х₀ та V, дайте відповідь на наступні питання:

• Координатна вісь спрямована праворуч. Початкова координата дорівнює -2 м, швидкість 5 м/с. Як буде рухатися тіло?

• Координатна вісь спрямована ліворуч (меню Додаткові налаштування — Змінити напрям Ох). Початкова координата дорівнює -2 м, швидкість 5 м/с. Як буде рухатися тіло?

• В якому випадку початкова координата входить в рівняння з від'ємним знаком?

• В якому випадку швидкість входить в рівняння з від'ємним знаком?

Якщо не можете самостійно сформулювати відповіді на останні два питання, то спробуйте встановлювати інші параметри початкової координати, швидкості, напряму осі. Кожен раз уважно спостерігайте за рухом тіла.

Перевірте себе, розв'язуючи наступні задачі:

• Рівняння руху тіла Х=1-4t. Як воно рухається, якщо координатна вісь спрямована праворуч? Ліворуч?

• Рівняння руху тіла Х=-4+3t. Як воно рухається, якщо координатна вісь спрямована праворуч? Ліворуч?

• Рівняння руху тіла Х=-3t. Як воно рухається, якщо координатна вісь спрямована праворуч? Ліворуч?

• Рівняння руху тіла Х=8. Як воно рухається, якщо координатна вісь спрямована праворуч? Ліворуч?

• Тіло рухається з початкової координати 5 м зі швидкістю 2 м/с праворуч. Запишіть рівняння руху, якщо координатна вісь спрямована праворуч? Ліворуч?

• Тіло рухається з початкової координати -3 м зі швидкістю 2 м/с ліворуч. Запишіть рівняння руху, якщо координатна вісь спрямована праворуч? Ліворуч?

• Тіло рухається з початкової координати 2 м зі швидкістю 1 м/с праворуч. Запишіть рівняння руху, якщо координатна вісь спрямована праворуч? Ліворуч?

• Тіло рухається від початку координат зі швидкістю 10 м/с ліворуч. Запишіть рівняння руху, якщо координатна вісь спрямована праворуч? Ліворуч?

• Тіло знаходиться у точці з координатою 4 м. Запишіть рівняння руху, якщо координатна вісь спрямована праворуч? Ліворуч?

Як Ви вважаєте для чого в задачах такого типу прийнято робити малюнок: координатну вісь, тіло, вектор швидкості?

Тепер, коли Ви розумієте рівняння рівномірного руху спробуйте розв'язати такі задачі: 

• Рухаючись рівномірно по прямій ділянці шосе, автомобіль проїхав за 6 хв від кілометрового стовпа “1км” до кілометрового стовпа “7 км”. Де знаходився автомобіль після 2 хв руху? Після 3,5 хв? Після 5 хв? За скільки хвилин автомобіль доїде до кілометрового стовпа “15 км”? Стовпа “27 км”?

• Велосипедист, що рухається по прямій дорозі з швидкістю 12 км/год, проїхав повз спостерігача в напрямі із заходу на схід. Де був велосипедист 2 год тому? Де він буде через 1,5 год? За який час велосипедист від'їде від спостерігача на 20 км? На 40 км?

Графіки рівномірного руху

Мета: пов'язати зображення руху та його рівняння із графіком, тобто навчити “читати” графіки.

Графіки руху дозволяють описати рух більш наочно порівняно з рівнянням руху. Побудувавши графіки кількох тіл в одній системі координат можна без розрахунків сказати у які моменти часу тіла зближувалися, віддалялися, коли та де тіла зустрілися та інше.

Розберемо спершу простіший випадок графіку руху одного тіла. Включіть відображення графіку координати. Маніпулюючи моделлю, тобто виставляючи різні значення швидкості та початкової координати і спостерігаючи за рухом та отриманим графіком дайте відповіді на наступні питання:

• Які загальні властивості мають графіки руху який починається із нульової початкової координати? Встановіть Х₀₌0, змінюйте швидкість (кілька значень більше та менше за нуль).

• Які загальні властивості мають графіки руху, який починається із початкової координати більше 0? Встановлюйте різні значення початкової координати більші за нуль, змінюйте і швидкість (кілька значень більше та менше за нуль).

• Які загальні властивості мають графіки руху, який починається із початкової координати менше за 0? Спробуйте дати відповідь без моделі, потім перевірте. Встановлюйте різні значення початкової координати більші за нуль, змінюйте і швидкість (кілька значень більше та менше за нуль).

• Від чого залежить кут нахилу графіка координати? З ростом якої величини кут нахилу графіку координати збільшується?

• Як позначається на графіку координати зростання швидкості руху?

• Як позначається на графіку координати рух тіла ліворуч?

• Як позначається на графіку координати рух тіла праворуч?

• Графік координати спрямований догори. Як рухається тіло? При яких значеннях початкової координати та швидкості це можливо?

• Графік координати спрямований донизу. Як рухається тіло? При яких значеннях початкової координати та швидкості це можливо?

• Чи може бути, щоб графік координати був спрямований паралельно осі Х?

• Коли графік координати буде співпадати із віссю Х?

• Якому положенню тіла відповідає точка перетину графіком координати горизонтальної осі?

• Як за графіком координати встановити положення тіла в певний момент часу? Наприклад, через 2 с після початку руху.

• Як за графіком координати встановити час коли тіло було в точці з певною координатою? Наприклад, тіло рухається з точки з координатою -2 м зі швидкістю 3 м/с. Коли тіло досягло точки з координатою 5?

• Як за графіком координати встановити швидкість тіла?

• Включіть відображення графіку швидкості. Який вигляд може мати графік швидкості рівномірного руху?

• Як змінюється вигляд графік швидкості в залежності від початкової координати?

• Як змінюється вигляд графіку швидкості в залежності від швидкості?

• Коли графік швидкості буде співпадати з віссю Х?

• Спрогнозуйте подумки та перевірте на моделі вигляд графіку для рухів, що описані такими рівняннями:

  • Х=5+t

  • Х=2-4t

  • Х=-3t

  • Х=5

Отримаємо графік більш складного руху тіла, з зупинками, змінами швидкості та напряму руху. Для цього:

• встановлюємо певні значення початкової координати та швидкості, наприклад, Х₀=2 м, V=-1м/с, та натискаємо кнопку Почати, через деякий час натискаємо кнопку Пауза

• змінюємо швидкість, наприклад V=3м/с, та натискаємо кнопку Почати, через деякий час натискаємо кнопку Пауза.

За виглядом наступних графіків спробуйте спрогнозувати рух тіла на різних ділянках, а потім перевірте свої припущення на моделі.

Для попередніх графіків спробуйте спрогнозувати вигляд графіку швидкості, потім перевірте свої припущення на моделі.
За наступними графіками швидкості спробуйте спрогнозувати вигляд графіку координати, потім перевірте свої припущення на моделі:

• рух починається з 0 м
• рух починаєтья з 4 м
• руз починається з -6 м